「思維解密」：函數──規律背後的數學語言
現象背後的對應法則
對許多台灣的成年人而言，每當回想起國高中義務教育時期的填鴨式教育，通常會伴隨一段相當苦澀的記憶。
考試成為了學習的唯一目的，而不是手段。一旦我們沒好好達成這個目的，與之而來的不外乎被師長冷眼冷言、責罵處罰。
在當時的許多科目中，尤其是數學更是許多人心頭之痛──我自己也是如此。
其實這非常合理，因為就認知發展的角度來看，人類的大腦通常要 25 歲之後，才逐漸成熟到得以高效處理抽象化的事物。
相對於歷史、地理、英文等多多少少能直接對應到我們實際生活經驗的科目而言，數學的抽象化程度實在太高了，是人類所有學問之最。
也就是說，除非是對於抽象思維特別敏感的極少數天選之人，否則當時才十幾歲的我們在生物機體的層面上，原本就並不處在一個能夠自然理解數學概念的狀態。
那反過來說，如果能把抽象的數學概念，與十幾歲青少年也體驗過的現實世界中之間的關聯，通過清楚和淺顯的比喻來解釋清楚，那麼是否學生們就更有可能學得會，也更願意學？
我時常在想，如果當時有這樣一位老師，把包括數學在內的所有學科都透過這樣的方式，來告訴我「這些學科為何而存在」、「我為什麼要學它們」，那我是否會有另一種學習體驗，並且現在就會成為更不一樣的人？
老實說，這樣的起心動念，也是我之所以想要持續寫這份電子報的其中一個出發點。我想用最簡單的文字，來探究人類如何思考、並且是用什麼樣的方式來理解整個世界。
而這一次，我想以數學裡的「函數」為主題，試著從人類的經驗出發，來談談它與我們之間的關係。
舉凡像是指數函數、對數函數、二次函數、三角函數……讓學生時期的我們痛苦的，不外乎就是這些像是外星文字一樣、連存在的理由都無法理解的符號。
但說白了，函數到底是什麼呢？
是我的話，現在的我會用這麼一句話來簡單解釋它：「兩種事物之間的對應法則」。
我們可以把函數想像成是一台機器，把一個原料丟進去、按下按鈕，沒多久就會跑出另一個不一樣的產品。
而每一台機器，它們的內部程式和機制都不一樣，會把同樣的原料產生出不一樣的結果。機器只是忠實地按照內部設定來做事。
而在數學裡，我們只是把以上的事情，使用高度抽象化之後的符號來重新表述而已。
例如說，那些丟進機器裡的原料，通常使用「x」這麼一個符號來表示，術語稱之為「自變數」。
跑出來的產品，則被稱為「應變數」，經常以「y」來表示。
當然，函數裡的方程式，就是我們把機器拆解開來看之後，所看到的內部程式和機制。
知道了這個簡單的比喻之後，我們不妨來直接看看一些具體的例子：
菜市場裡攤販賣的香蕉，每台斤 24 塊錢。客人來買不同重量的香蕉，當然也會收相對應的價錢。
此時，「重量」與「價格」之間的對應關係，就可以寫成一個函數：
f(x)=24x
或是
y=f(x)=24x
當然，自變數 x 代表了香蕉的重量，應變數 y 則代表了要跟客人收的錢。
攤商就是依據這個法則， 3 台斤的香蕉收人 72 塊， 4.5 台斤則收人 108 塊。這就是我們在日常生活中，不知不覺就應用到了的「函數」的典型範例。
另一個例子，遊樂園的售票亭上寫的售票規則如下：
「身高 130 公分以上，需要購買全票： 990 塊。身高 130 公分以下的人，半票： 690 塊。」
這其實也是另一種函數關係。如果我們假設把自變數 x 代表身高，應變數 f(x) 代表對應的票價，那麼就可以這樣寫：
f(x)={990,x≥130
{690 ,x<130
光是在日常生活裡，函數就已經無所不在。我們身邊的所有現象，都是不同的輸入與其相對應到的各種結果之間的關係。
例如，我們在工作上有多少投入，會如何影響我們收入；
我們花多少時間休息，如何反映在身體狀態上；
對於親友之間的關懷，如何影響與他們之間的關係……
那些都是典型的「輸入──對應法則──輸出」結構，只是我們平時未必會用數學的語言去描述它們，而且每種不同的現象背後的各種規則更為複雜，彼此之間是各種不同的樣貌。
像是以上案例中香蕉與其價格之間的關係，在數學裡稱之為「線性函數 (*)」（linear function），那是最符合人類直觀感覺的關係。
（*：英文裡的「linear」一詞，指的是「直線」之意。）
而票價與身高的例子，則是「分段函數」（piecewise function），也是一般常見的事務處理規則。
但真正會讓人困惑的往往不是這兩種，現實世界中多數重要的關係，都不會那麼直觀和規矩。
有些投入和產出之間關係，一開始看起來平穩地幾乎沒有變化。但一旦跨過某個門檻，結果卻會開始以驚人的速度放大。這在數學裡被稱為「指數函數」（exponential function）。
學習、技能、信任、習慣、健康，甚至是財務狀況，很多時候都更接近這種指數型的關係。每天只增長一點點，看起來微不足道，但當這個「一點點」不斷累積之後，最後會達到往往超乎人的想像。
人類的大腦可以很明白地理解「線性函數」和「分段函數」類型的規則，但是天生不擅長理解「指數函數」型的狀態。
我認為這也正是之所以我們會覺得整個世界難以理解的原因之一，因為我們會下意識地以為，世界上所有規律都是「線性」的，而不是「指數」的。
但這也正是世界的精采所在，因為它向來出乎我們的預期。
函數，是使用純數學的語言，來讓我們看見隱藏在事物之中，穩定而存在的規律。
一旦這個規律被掌握，我們就能大致知道許多現象的走向，以及最後會發生的結果。
再說白一點，就是讓我們知道投入什麼，最後會換回來什麼？投入多一點，結果會不會變多？會的話，是多少？之間的機制倒底是什麼？
這一點，其實和很多知識的本質是一樣的，都是為了讓人們能夠從「已知」來推導出「未知」。