「思維解密」：《平面國》的警世寓言
「感受不到」≠「不存在」
想像一下，如果我們所處在的世界，不是三維空間、而是一個二維的平面的話，那會怎麼樣？
可以想見的，我們的常識以及對於整個世界的認知，跟現在相比絕對會有天翻地覆般的不同。
光是方位感就不一樣，只會有東西南北與左右之分，不存在上與下這兩個概念。
無論是生物還是非生物，所有的一切在我們眼裡看來，都是各種不同長短與排列的線段，沒有任何立體結構。
倘若有一天，一位來自三維空間的人進入了我們的世界，那會發生什麼事？我們會如何看待他？
而他又該怎麼做，才能讓我們理解何謂「三維空間」呢？
以上的設問，並不完全出自於我的憑空想像，那是 1884 年由一位英國教育家：埃德溫．阿伯特（Edwin Abbott Abbott）所著的一部小說《平面國》（Flatland: A Romance of Many Dimensions）裡的劇情。
在這個只有兩個維度的世界──平面國裡，所有居民和建築物都呈現著扁平的幾何形狀。除此之外他們跟我們都一樣，有男女之分，有家庭、工作、房子、社會階級與制度……等。
簡單來說，那個世界跟我們的很像，除了不存在「高度」以外。
平面國裡的人，使用觸覺、聽覺、和有限的視覺，來判斷彼此的樣子。他們看別人和看自己，都是一條又一條的線段，沒辦法看出三角形、圓形、方形之類的真正形態。
有一天，一個來自三維世界的球體，在因緣際會之下，接觸到了平面國的一名正方形居民。
一開始球體出於禮貌，先是在三維世界裡跟正方形打招呼。此舉讓正方形嚇了一跳，因為他無法判斷這聲音從何而來，他還以為自己瘋了、有人在他腦海裡對著他說話。
當球體試圖進入二維世界裡時，對正方形而言這更是個衝擊性的場景──因為在他的眼中，球體現身的整個過程，是先從一個點，漸漸變成一個愈來愈大的圓。
正方形完全摸不著頭緒，打從出生以來他沒看過平面國中有人的形態會是這樣子。
無論球體如何費盡唇舌，正方形還是無法理解球體到底從哪裡來、以及他口中所說那個「上面」是什麼意思？
於是，球體把正方形「拉」到三維空間裡來，終於讓正方形生平第一次開了眼。
當正方形俯瞰著平面國，他眼中的朋友們已經不是平常看慣的線段，而是三角形、四角形等各種形狀。他甚至能看穿建築和人家身體裡面的一切。
那一刻，正方形的世界觀被徹底地翻轉。
當正方形回到二維世界的平面國時，他試著向朋友們說明在三維世界時的所見所聞，但沒有一個人聽得懂他在說什麼……
「你說的上面是什麼？在哪裡？指給我看啊！」，面對眾人的疑問，正方形啞口無言，因為回到二維世界裡的他已經辦不到這件事了。
後來在其他的機緣之下，正方形造訪了只有一個維度的世界：線國，以及另一個根本沒有維度、全世界就是一個點的「點國」。
同樣的，這兩個世界裡的居民，一樣也無法理解正方形口中所說的「其他的維度」是什麼意思，更無法想像竟然會那樣的世界存在。
因為有數次穿越不同維度的經驗，讓正方形開始懷疑：「有沒有可能也存在具有四個維度的世界呢」？
正方形把這個想法告訴了他的啟蒙導師──球體，認為如果是他的話一定能瞭解這個想法。沒想到球體卻輕描淡寫地一笑置之：「四個維度？天底下哪有這種可笑的事？」……
最後，正方形因為不斷地在平面國裡宣揚三維世界的存在，此舉激怒了國王，並下令將正方形監禁起來。正方形只好在獄中想辦法把這段見聞以及思想整理成一本書，希望後世裡有人能懂。
許多文學作品的存在，向來是有識之人對於當下時代主流思潮的反思和啟示。這本《平面國》也是如此，故事正是對 19 世紀英國封建社會制度僵化的諷刺與批判。
而同時也點出了另一個事實：人們幾乎無法理解遠超出認知能力範圍以外的事物。因為腦海中沒有相對應的經驗與架構，連想像也無法想像，更別說理解了。
我們可以試著想像一下，世界上如果存在著超越三維以外更高的維度，那會是什麼樣子？
四維的話，說不定我們還可以勉強想像得出來。因為愛因斯坦在他所提出的相對論裡，把時間也當成是現存空間以外的第四個維度。
（雖然在數學裡，四維不一定是這樣的定義。）
那麼五維、六維、或是以上的維度呢？這真的就力有未逮了。
但事實上，依據數學與理論物理學的計算與推測，宇宙其實不止三維的空間、和多一維的時間，還可能存在更多維度。
只是說，那些維度是處於「蜷曲」的狀態（compactification），人類看不到、也無法理解。
具體來說，所謂維度的「蜷曲」，是什麼樣的狀態呢？
舉個例子，一支自動鉛筆的筆芯，當我們遠遠地看著它，就只是個一維的的線段。
但，如果我們用顯微鏡看它的橫截面，就會發現筆芯其實是三維的，因為它除了長度以外還有寬度與圓周這兩個維度。只是它們都太小，我們在日常生活中察覺不出來。
科學家所說的更高維度的「蜷曲」，就像是那自動鉛筆芯的橫截面那樣，平常是捲曲成一個極為細小的尺度。
而且那些蜷曲起來的維度，小是多小？如果把整個宇宙比作一片浩瀚的大海，那些額外的維度，就像是一顆米粒──裡面的一個原子那樣大小。
「維度」在是科學和數學裡指的是「描述空間中某個定點時，所需要的最少坐標數量」，而在哲學和文學裡，這一詞有著另外的意涵：「理解事物的層級和角度」。
活在世界上，有時會無奈地覺得：為何同樣是人，有些人不管你怎麼跟他解釋和溝通，但他就是沒辦法聽得懂。並非語言不通，也不是他不想聽，是因為彼此在「認知的維度」上差距太大了。
《莊子》裡有這一句：「夏蟲不可語於冰者，篤於時也」。蟲子根本不可能理解「冰」這個概念，因為牠只能活在「夏天」這個世界裡。
有時人與人之間的差異也是如此。每個人過去的生命體驗、知識儲備、世界觀都不一樣，那些都是他個人的「思考上的維度」。
然而，當你試圖解釋的概念，遠超於對方的思考維度時，那就像是要我們去理解五維或以上的高維空間那般，幾乎不可能。
或許身為三維生物的我們，始終是無法在物理層面上真正體會什麼叫高維度。但如果單純是要提升自己思維上的維度，這倒是辦得到。
學習的目的正是在此，永遠要嘗識接觸新的知識與體驗，因為人的肉體只能困在三維，但大腦的思考維度，在理論上可以無限延展。
把高維度壓縮成低維度，在數學裡的術語叫「降維」。反過來把低維轉成高維，就是「升維」。
思考的「升維」，是我們身為人類最大的自由。
LLM（大型語言模型）也有維度的概念。一維陣列可以理解成一條線，矩陣可以理解成一個平面（像表格），三維張量可以理解成立方體。再往上的高維張量，就很難用直覺去想像了