今天我想談一下數學領域的一個古老分支──幾何學。
幾何學（Geometry）的原名，源自於古希臘語的「土地」和「量測」兩個字，顧名思義，它是一門專門研究「空間」，包括距離、形狀、面積等基本概念的一門學科。
這門學科的起源最早可追溯到古埃及，據說當時的人們為了丈量尼羅河泛濫後的土地，因而產生了初步的幾何學技術和概念。
隨著時間推移，這些技術和空間概念逐漸廣泛運用到更多領域，包括城市規劃、公共工程建設，甚至是天體觀測和雕塑藝術等。
讓我們先思考一個問題：土地、建築、雕像和天上的星辰，這些表面上看似毫不相關的事物，為什麼會被同一門學科所研究？
答案其實不只一種，但最具代表性的就是：它們都是由點、線、面所組成的。
我們周遭的實體事物都包含著這三項元素。有了點、線、面，就會組成長度、角度、面積、和體積。人們觀察、思考、論證它們的規律，化約為簡潔的數學語言，發展成現今的幾何學理論體系。
簡單來說，幾何學是一門「人類用最直觀的方式來描述世界」的學科。
人們許多日常生活中的問題，都跟計算長度、角度和面積等看似瑣碎的事情有關。早在西元前 3000 年就是如此。
說到測量，當時若是有人說「這根柱子有兩公尺長」、「這塊布有半米寬」時，這些數值是從何而來的？
對於簡單的物體，這答案很直觀，直接拿把尺來量就行了，而且有憑有據。當有人問「你是怎麼知道那柱子有兩米長的？」，很簡單，因為你實際量過了！
但是，當要測量的對象變得極為龐大、超乎人力所能及之時，問題就變得複雜起來。例如：一座山脈有多高？夜空中的星星彼此距離有多遠？沒有人能親力親為動手去量出這個答案。
我們不能只是說「我覺得那座山大概有多高」、「那兩顆星星大概是這麼遠」，有些情況下，這種單憑個人主觀判斷是無法滿足實際需求的，也不足以為人信服。
這正是幾何學發展的重要原因，也是它大顯身手之處。幾何學中的各種定理、公式和概念，為我們提供了「丈量世界的依據」。
先不談過於高深的理論，從最基本也最經典的勾股定理（Pythagorean theorem），也稱為「畢達哥拉斯定理」 （Pythagoras theorem）開始談起。
它的定義很簡單，就是「直角三角形的斜邊長度的平方，等於兩個直邊長度平方的總和」。再用更簡單的數學語言來形容的話，就是大家在基礎教育數學課裡肯定看過的：
這個知名的定理是以古希臘哲學家畢達哥拉斯（約西元前570年出生）的名字命名。有趣的是，早在他出生前，西方世界就已經廣泛使用這個定理。此定理不知為何一直掛著他的名字，直到現在。
在中國的《周髀算經》，書中記述了一位名叫商高的人與周公的對話，那段話如果翻譯成白話文就是：「一個直角三角形，它的兩條直角邊分別為 3 和 4 的話，那它的斜邊長度就是 5」。這代表在不同的時空之下，古代中國人也掌握了這項原理。
在數學史上，勾股定理可能是擁有最多種證明方法的定理，據說超過 500 多種。
回到先前的情景，如果要量測人力難以測量的事物──例如一座山的高度好了，尤其是在沒有人工衛星和無人機的古代，該怎麼做呢？
這時，我們只能採用「間接測量」的方法，也就是透過幾何學中的各種定理（包括但不限於勾股定理），結合其他可測量的數據，來推導出最合理的數值。
此時，三角測量法（trigonometry）便是其中一種典型的應用，它的原理運用到三角函數和勾股定理的。
簡單講一下具體的操作。首先，你站在離山頂有一段距離的地點，假設它為 A 點好了，然後測量出仰望山頂時的角度，我們量出為 30 度。
然後，移到距離山更近的 B 點，這次的角度變成 45 度。
山本身的高度沒辦法直接測量，但是 A 點到 B 點的距離可以。此時使用數學中的代數，和幾何學中三角函數的概念，我們就可以透過 A 點到 B 點的距離和兩個測量角度，推算出山的實際高度。
簡單來講，幾何學的概念讓我們能夠「透過已知來求得未知」，將看似無法觸及、或超越人力可及的事物，求得其實際又具有公信力的真實資訊。
提到幾何學，歐幾里得（Euclid, B.C. 325 ~ B.C. 265）是不得不提及的重要人物。
歐幾里得的巨著《幾何原本》共 13 冊，雖然並非歷史上最早的幾何著作，但因其其獨特的嚴謹性和系統性而比當代其他作品更受歡迎，成為後世學習幾何的首選教材。
《幾何原本》的獨道之處，在於它從最基本且普遍被接受的原理──五項基本公設出發。它們雖然簡潔，卻成為了一切的原點，像是 5 個可循環使用的積木一般，層層推導出一個完整的體系──歐幾里得幾何（Euclidean geometry，一種基於二維平面空間的幾何體系）。
此舉完全展現了數學之美：「基礎、抽象、簡潔，卻能構築出整個世界」。
