說到最抽象化的學科,毫無疑問地就是數學,沒有之一。
這種說法的依據是什麼?甚至不需要提及數學中那些艱澀難懂的理論,我們先從小朋友都知道的基本概念──「整數」來討論一下,就會明白。
幾乎不需要任何後天學習,人類就能理解何謂整數這個概念。例如數一數身後有多少人、櫃子裡還有幾片麵包,整數直接對應到我們在現實生活中時常會面對和處理到的體驗,
許多動物原本就具備了基本的數字概念,像是猴子會辨別數量的相對大小,狗也有能力夠進行簡單的加法運算。
也許基本的數字能力,是我們身為動物的生存本能吧!用最快的速度來掌握眼前的敵人或獵物有多少數量,這的確是攸關生存的事情。
然而,當我們試著把「人」、「麵包」、「獵物」等具體事物先忽略不計,單純討論「1」、「2」、「3」等數字本身的話,我們會發現說它們並不存在於我們所生存的實體世界裡。
也就是說,就算我們翻遍了世界每一個角落,都找不到跟實體事物無關的「1」、「2」、「3」等純粹的整數,它們只會在人類的思維和抽象概念世界裡存在。
但換個角度來說,這其實也代表著只要與實體事物有所關聯的話,整數、甚至是數學本身,在這個世界上無所不在。
整數的「抽象」,正是因為它們源自於我們與現實世界互動時的經驗。那是我們把這些現實和細節一層一層地剝除之後,所遺留下來的本質──「個體的存在」。
舉例來說,當我們要去數眼前散落一地的蘋果有多少數量,我們會怎麼做?要嘛就是用手一顆一顆抓,再不然就是用手指逐一點數,沒錯吧!
但不論是哪一種,當我們這麼做的時候,其實背後隱含了一個前提:「我們把這些蘋果都當成同一類東西在看待」 。
然而,這些蘋果,真的都是一樣的東西嗎?
仔細一看,這些蘋果每顆在大小、形狀、紋理,重量、或是色澤上,只要稍微比較一下,一定會發現不少差異。世界上不可能找得到兩顆完全一模一樣的蘋果。
別說蘋果了,人更是如此。人與人之間必定會在某個地方有所差異,就連雙胞胎也一樣,他們至少指紋就不同。
也就是說,當我們數那些蘋果的過程中,就已經「省略」掉它們彼此間的差異和細節,只保留了它們都符合了「蘋果」這個分類的特質。
用嚴謹一點的講法,就是那些蘋果都符合「蘋果」的外延和內涵。(延伸閱讀:「思維解密」:白馬到底是不是馬──「內涵」與「外延」)
因為那些蘋果彼此之間的差異,對我們當時的目的來說並不重要。我們所在乎的,是他們加起來有多少數量;我們所在乎的,是他們「身為蘋果的個體之一、並且完整地存在」這件事實。
只要符合那些條件,就可以把那些蘋果排成一排、不論是物理上還是概念上,然後各自在它們身上標上「1」、「2」、「3」……等數字,好讓我們最終可以知道他們的總數有多少。
這也可以說是「數軸」這種概念的最粗淺解釋。
抽象畫家在進行創作時,也是類似的過程:他們會先仔細觀察眼前物體的結構,再一一省略或弱化細節。這個過程並不是單純地像小朋友一樣天馬行空地任易塗鴉,每個動作的背後都經過了不斷地思考,思考該保留哪些細節才能突顯它的美感與意象。
就某種程度,我認為「數字」這個概念也是一樣的。每個物體之間,各別的不同細節和特徵都被省略,只保留「身為個別整體的存在」這個事實,再轉化成為一個抽象的共通概念,在人類的世界加以運用。
許多知識原本就存在於這個世界,是人類用自己可以理解的方式來「發現」了它──而非「發明」了它。
如同一開頭所提到的,動物多多少少都有一些最基本的數量概念,人類應該也是天生如此。而整數這個概念,有人認為跟我們「用手抓握東西」的這個動作似乎是所有相關。
不只是整數,「進位」這個概念也是,之所以人類的數字系統是以十進位為主的原因,也有一種說法是:因為我們有十隻手指頭。
當我們用張開雙手,從 1 開始到 10,每數一個數字就收起一根手指,數到十的時候我們會發現數不下去,因為所有手指都握起來變成拳頭了。
此時,只好把已經數到的數量「十」記錄起來,雙手張開,重新數下一輪。
僅次於十進位,十二進位是人類社會中第二常用、並且影響甚遠的進位規則。因此它影響了時制與曆法,也就是一天之所以有 24 小時,一小時有 60 分鐘的由來。
而為何人會採用十二進位,也有一種說法是──那其實也是來自人類手部的構造。
怎麼說呢?人有十根手指,所以會有十進位這很好理解,那麼十二這個數字是怎麼來的?
我們不妨試一下,假設我們不用兩隻手、只使用一隻手來數數字的話,我們會怎麼數?
這時,我們會用大拇指依序觸碰其他四根手指的指節,每根手指有三節,而四根手指就有十二節。
這些例子都呼應了前面所提到的:數字跟許多知識一樣,原本就存在於自然世界,只是用人類所能理解的形式而呈現出來在我們眼前。
也就是說,人類沒有發明數字,人類是「發現」了數字──並且在這個過程中,都使用到自己可以理解的形式。
假設今天人類的身體結構並不是現在這樣,而是像蛇一般缺少了雙手這樣能抓取物體的器官的話,我想我們人類社會裡還是會有數學,但只是用另外一種面貌存在。
數字,是把「存在」這件事抽象化而成。畢竟我們是人類,我們所有共有的概念、技術、與知識,都是依照人類所能理解的方式建構而成。而各種概念之所以被抽象化的過程和形態,自然也是來自於我們的身體構造與和理解能力的限制。
包括數學在內,人類所有的學問和知識,都源自於我們以有限的血肉之軀,與環境互動而產生的結果。


