「案例分析」：知識──理解之前，先使用它
在歸結之前，先為人所用……
許多知識，早在它們被正式整理成一套完整論述之前，人類其實老早就在日常生活中運用它們了。
好比說，早在阿基米德（Archimedes，西元前 287–212 年）提出浮力的觀察以及其原理的五、六萬年前，先人們就已經懂得利用簡易的木筏來橫渡河流。
並不需要先深入什麼叫浮力，也不需要懂得物理學以及其公式，只要知道那個現象能為我們所用，這就夠了。
這就像是人們並不需要知道電腦、汽車、機械裡的所有細部構造和機制，也能妥善使用它們一樣，許多知識，人類一向都是先實際使用它們再說。至於深入理解的部分，可以日後再交由其他更有智慧的人們慢慢處理。
我上禮拜的周更文章裡提到了「函數」，我認為函數以及許多相關的數學概念也是如此。
「函數」（function）這個名詞，是 17 世紀末的德國數學家：萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz）所初次訂定的。它的語源來自拉丁文的「 functio」一詞，意思是「執行」、「展現」。
這樣的命名，也許是因為他想表達一個意念：兩種數字、變量之間的對應關係，是一種可操作的規則。
但是「輸入會依據某種規律產生特定的輸出」這種概念，我們都知道，它早就存在於歷史和人世之間。就算人們說不清那個規律的來歷為何、也無法用數字或科學來理解它，仍然可以讓它造服我們。
像是三角函數（Trigonometric functions）──在義務教育的數學裡向來困擾著莘莘學子們的函數，那其實並不是為了折磨學生才出現的。
它最早要處理的是非常務實的問題，像是天文學的星象觀測時想知道星星的位置、距離以及運動，這當然不可能直接量測，只能做用推算的方式。
該怎麼推算呢？說來很簡單，就是：透過「已知」來求得「未知」。
那當時他們的已知是什麼呢？就是直角三角形裡，特定的角度之下，底邊、對邊、和斜邊之間的長度比例必定是一樣的。
也就是說，不論這個直角三角形有多大，就算大到像把整片星空都框進來一樣大，只要它仍然是直角三角形、角度仍然固定，邊與邊之間的比例就是固定的。
所以，只要你能量測到其中一條邊，其他邊的長度就都可以被推算出來。這是放諸四海皆準，同時也超越時間空間的定律。
抓住那個不會變的規律，把它當成一個產出的機器，於是把會變的事物一個一個丟進去，就可以得到特定的結果──這就是函數的精神。
這就是一門被稱為「三角學」（Trigonometry）的幾何學分支的起源，最初是為了天文計算之故，而研究三角形的邊與角的關係。從古希臘開始初步發展，到了中世紀末到文藝復興時期，才逐漸被整理成更獨立、也更系統的學科。
我們所知的三角函數，是直到 18 世紀時，瑞士數學家歐拉 (Leonhard Euler 1707 ∼ 1783) ，將各種不同角度之下的邊長之間比例關係，得以從幾何圖形中抽離，成為可被運算的函數形式。
這代表了什麼？意思是說在那之前，人們只是把各種常見的角度之間的邊長比值整理成一個速查表，遇到了就直接查表，跟國中時期的教法很類似。然後並不那麼清楚「那些比例是怎麼被計算出來的」，因為都是前人整理出來的。
據說最早在大約 4000 年前，生活在今日伊拉克一帶的巴比倫人，他們就是這樣做的。
像是這塊被稱為「普林頓 322」（Plimpton 322）的泥板，就是出自於距今約 3700 年的古巴比倫時期，上面所記載的就是多種角度下、直角三角形的三邊之間的比例表。
這塊泥板是在 1945 年被發現的，人們發現上面的記載滿足了畢式定理「 a²+b²=c² 」，可以見得當時的人們也用他們的方式來研究過三角學。根據猜測，上面的資訊可能跟建造宮殿、廟宇或運河的工程計算有關。
但另外值得注意的是，依據上面的記錄以及歷史學家的研究，當時的巴比倫人並沒有「角度」這個概念。泥板上所記錄的是單純是直角三角形的邊長比例，而且是相當精確。
他們的概念跟現代不同，是將直角三角形視為長方形的一半，並且本身使用的數學是的六十進位系統，因此在幾何學的形狀比例計算上，可以做出相當準確的比例。
這會讓人不禁開始想像：那些知識究竟是怎麼發展出來的？
以當時的條件來看，他們掌握的數學知識一定遠比近代少得多，那麼這些規律與方法，又是怎麼被發現的呢？
很可能不是來自某一次靈光乍現，而是透過不斷的嘗試與錯誤、不斷在實務中反覆測試，一點一點累積出來的。就像前面提到的例子一樣，人類在真正理解何謂浮力之前，早就已經懂得造船渡河了。
只可惜不知為何，古巴比倫的這種學問發展方式並沒有流傳下來，不然現代的幾何學發展說不定有另一種面貌。
但至少有一件事很清楚：知識和學問，在運用上並不是會只有一種模式。
不論是比例表也好，精密的函數計算也罷，它們都在做同一件事──把一個不會變的規律整理好，讓你只要把已知丟進去，就能把未知算出來。
不論是巴比倫還是希臘，在那個時代，根本還沒有「三角函數」這個名詞，更沒有「函數」這個概念。但他們照樣能用，而且用得很務實。
不需要理解什麼高深的數學知識，他們只想知道一件事：「在特定條件下，當我投入什麼，會得到什麼？」只要能回答這個問題，那就夠了，方法看來笨一點也沒關係。
在我看來，不論是巴比倫人還是現代人，都已經抓住了一個共同的本質：找到規律，並且運用規律。
函數，就像是把一個原本看不清楚內部機制的黑盒子打開，讓我們看見裡面的構造長什麼樣子、規則是怎麼運作的，讓一切不再那麼神秘。
而從巴比倫人的例子回頭看，我們也更能理解一件事：學問，尤其是那些真正貼近生活、和現實環境高度相關的知識，往往不是從抽象定義開始，而是從一次次實做與嘗試中慢慢「長」出來的。
重點不在於理論完備和形式高雅與否，在於能不能解決眼前的問題。
等到問題被反覆解決了，規律被反覆驗證了，人類才慢慢回頭，替這些經驗命名、整理、寫成公式。函數只是其中一個這樣的產物。
許多知識，在它被人命名之前，早已被不斷使用和證實，也早在它被人理解和歸結之前，就已存在於世間。
（這禮拜的周更進度難產，導致原本昨晚就應寄出的電子報延到現在才寄出，真的很不好意思！）