「思維解密」：在蒙地卡羅到底發生了什麼事？
龐大尺度下的「隨機」與「罕見」
摩納哥，這個坐落於法國南部的鄰海小國，因早期賭博合法化、以及對境內居民免徵稅的政策，使得這片土地吸引了大量的財富，成為了全球人均所得最高的國家之一。
這個國家的主要城市：蒙地卡羅（Monte-Carlo），更是以其富麗堂皇的賭場而聞名於世。
在這裡，路上的每位行人幾乎都滿身高檔名牌，碼頭邊停泊著一艘又一艘億萬等級的豪華遊艇，而街道上穿梭如潮的超級跑車，更是將這座城市交織出了一幅奢華的景象。
除了權貴、奢華等關鍵字之外，蒙地卡羅這個地名更是因為一件令人瞠目結舌的驚奇事件，在統計學和心理學領域上佔據了一個代表性的地位。
在解釋這個原因之前，讓我們把時間拉回到 1913 年的 8 月 18 號──
那天晚上，在蒙地卡羅的一家賭場裡，有個輪盤竟然連續轉出了十三次黑色。
這一幕，別說在場的賭客們看傻了眼，連每晚負責轉輪盤的老員工也說從沒看過這種現象。他和他主管急忙跑出來跟客人澄清：「我們絕對沒有對輪盤動過任何手腳！」。
畢竟，輪盤的構造相當簡單，僅僅是一個大圓盤，上面有多個紅黑相間、刻有不同數字的格子。遊戲方式就是轉動輪盤，同時也讓一顆小白球在裡面不斷轉動，讓賭客們猜白球最終會掉落到哪一個格子裡。以當時的技術水準，這麼單純的結構幾乎不可能動什麼高明到讓人看不出破綻的手腳。
更何況，那十三次白球落下的格子只是正好都黑色，每格的數字都不一樣，並不像是作弊的跡象。畢竟「信任」這兩個字是合法賭場的經營命脈，沒有必要在這種小地方上砸自家招牌。
「已經出現這麼多次黑色，下一輪肯定是紅色！」在場許多賭客見狀，紛紛搶著把自己手上的籌碼壓在紅色上。
然而，出乎所有人意料，輪盤轉出來的是──第十四次的黑色。
眾人心中不禁驚呼：「天底下哪有這麼邪門的事情！連續十四次黑色？！」、「那這一次肯定是紅色了！」。
那令人匪夷所思的結果，吸引了更多人繼續加碼在紅色上。
然而，眾望所歸的紅色真的出現了──在輪盤轉出連續第二十六次黑色之後。
這段期間之內，所有人都見識到賭博是如此助長並催生人心的瘋狂。有些賭客不斷地壓寶在紅色上，幾乎傾家蕩產。有的人心臟受不了那麼強大的刺激而當場昏了過去。大家都異口同聲說：「賭輪盤那麼久，這種事還是頭一遭！」
毫無疑問，只有一個人贏了這場賭局，就是笑納了數百萬法郎籌碼的賭場莊家。
透過這一事件，學者們開始重視到，人類有這種會面對於隨機現象產生誤判與錯估的心理，並且因事件的發源地，將其命名為「蒙地卡羅謬誤」（The Monte Carlo Fallacy）、又稱「賭徒謬誤」（gambler’s fallacy）。
在深入探討這個心理現象之前，我先來幫那些賭客叫屈一下，因為他們當時的想法其實算是蠻合理的。
首先，輪盤上的紅色和黑色格子都是一樣多，所以轉出紅色或黑色的機率應各為 1/2。這點是一般成年人絕對都會有的常識。
再加上，許多人的思維裡都有著「物極必反」的概念，因此當他們看到了黑色已經連續出現這麼多次，直覺的反應就是接下來一定會出紅色，來把兩個顏色的出現機率平衡成各自 1/2。會這樣想其實並不奇怪。
以及，許多人在中學時的數學課都學過這一道機率問題：「連續丟十次銅板，每次都是正面的機率是？」答案是 1/2 的 10 次方，也就是機率相當微小的 1/1024。
因此，當輪盤轉出連續十三、十四、甚至二十六次黑色的時候，一般人肯定都會回想起那個「擲銅板連續十次都正面的可能性微乎其微」這件事，因而認為「下一把是紅色的機率，肯定非常大」。
的確，仔細分析一下，會發現那樣的想法真的很合理。
但我們要知道，在直覺上認為的合理，擺到現實世界時並不一定是正確的。
畢竟人類存在著一種「因果偏好」的思維方式，我們的潛意識總是會認為，任何事物背後必然有個相對應的原因和規律。
人們會認為，這次硬幣丟出正面、輪盤轉出紅色，一定是因為之前了發生的某件事之故，也會傾向把那個原因歸究於「之前這硬幣丟出哪個面」、「之前輪盤轉出哪個顏色」。
但是硬幣和輪盤不是人類，不會去記得之前它們已經出了多少次的正面或黑色，也沒有什麼「平衡機率」的概念。丟硬幣和轉輪盤都一樣，每一次結果都各自是「獨立事件」──也就是說彼此之間的結果毫無因果關係、不會相互影響。
換句話說，無論之前輪盤轉出了多少次黑色，下一次出現紅色的機率仍然是 1/2，不多也不少。
「蒙地卡羅謬誤」（The Monte Carlo Fallacy）指的是「沒有辦法意識到上面那件事」。人們在面對隨機發生的事件之時，常會誤認為過去發生的事會影響未來事件的發生機率。像是當晚的那些賭客們一樣。
另一個一般人看待隨機事件時可能會有的誤解：如果說轉輪盤的機率是隨機的紅與黑各 1/2，那麼在正常的狀況下，結果不都應該是紅黑相間、也就是說一兩次黑之後再一兩次紅，這才合理不是嗎？
讓我們透過一個小故事來回答那個問題：
一位統計學系的教授給他的學生們出了一個簡單又無聊的作業，就是回家丟兩百次銅板，並記錄每次的結果。下課前教授還特別強調：「請務必要親手做，不要造假。誰造假，我一定看得出來。」
許多學生不瞭解教授的用意，怎麼會都大學了還出這種小學生等級的作業。同時也很懷疑：「啊你又沒盯著我做，這結果我隨便掰一下，你哪裡會知道？」於是真的有些學生不好好擲銅板，在紙上隨手寫了兩百個「隨機」的正和反來交差了事。
第二天交作業的時候，教授還真的一眼就識破出是哪些學生沒有真正做這個實驗。
教授是怎麼看得出來的呢？答案是，那些沒有實際去丟銅板的學生，他們所想像出來的隨機結果都像是「正反正反正正反……」這樣，太有規律了。
實際上，如果說我們真的動手丟兩百次硬幣並記下結果，就會發現連續六次甚至七次是正面或反面的情況絕對會出現。這樣子的「連續性」，反而是隨機中的常態。
換句話說，真正的隨機性，在人類的眼裡看起來通常沒那麼「隨機」。
也許會有人問說：「擲十次銅板都是正面的機率已經夠低了，看都沒看過。那照理說轉輪盤二十六次都是黑色的機率，應該是低到幾乎不可能才對啊！不是嗎？」曾經我也這麼認為。
後來我想通了，這其實只是「看事情的尺度不同」。
我的確從來沒有過擲十次銅板都是正面或反面的經驗，但那是因為「我只試了那麼一兩次」。
如果說我試著擲一千組的十次銅板，也就是一萬次，那肯定就不一樣了吧？
回到「蒙地卡羅事件」，對於當晚的賭客而言，他們所見識到的是「當天晚上，那個輪盤轉動的總次數裡，其中的連續二十六次竟然都是黑色」。
也就是說，「當晚該輪盤的轉動總次數」，就是他們的參照尺度。
我們不妨試著把這個尺度放大一點，用整個世界的範疇來重新看待這個問題。
先試著大致估計一下，從輪盤誕生於世界之初、一直到事件發生當時，全世界賭場在玩輪盤的次數約有多少次：
輪盤是在 17 世紀由法國數學家布萊士．帕斯卡（Blaise Pascal）發明的，而從 18 世紀開始演變成一種賭博項目。
18 世紀到事件發生時的 1913 年，共經過了 212 年。
大多數賭場都是 24 小時營業的，
每小時內，一個輪盤通常會進行約 40 到 60 次旋轉。在這裡我們就保守估計為 40 次。
全世界大約有 4000 多家合法的賭場。
也就是說，在極為粗略的估計之下，從歷史上的輪盤遊戲開始之初一直到事件發生的當下，全世界所有賭場的輪盤一共轉了：
4000x40x24x365x212=297139200000也就是將近 3 千億次。
不難想像，在那 3 千億次紅與黑交錯的紀錄之中，要找出連續二十六次都是同一顏色的情形，肯定不是難事。也就是說，用整個世界的尺度來看，那個「蒙地卡羅事件」就顯得相當稀鬆平常。
直到現在，全世界賭場中的輪盤仍在不斷地轉動，連續二十次甚至三十次同一顏色的結果，也許老早就發生過無數次，只是我們並不知道而已。
「蒙地卡羅謬誤」的故事告訴我們：
第一，我們所認為的因果關係，並不一定等同於世間事物之間真正的運行法則。
第二，也許在我們眼中極為驚人的珍奇古怪事件，對於世界來說，並沒有那麼特殊。
（很抱歉這次完稿又花了比預期更多的時間。祝各位中秋佳節愉快！）
這篇真的很有趣, 也祝福你中秋愉快